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SOMMAIRE

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Historische und mathematische Wahrheit. - Vérité en histoire et en mathématiques.

94.

In Ansehung der historischen Wahrheiten, um ihrer kurz zu erwähnen, insofern nämlich das rein Historische derselben betrachtet wird, wird leicht zugegeben, daß sie das einzelne Dasein, einen Inhalt nach der Seite seiner Zufälligkeit und Willkür, Bestimmungen desselben, die nicht notwendig sind, betreffen. - Selbst aber solche nackte Wahrheiten wie die als Beispiel angeführte sind nicht ohne die Bewegung des Selbstbewußtseins. Um eine derselben zu kennen, muß viel verglichen, auch in Büchern nachgeschlagen oder, auf welche Weise es sei, untersucht werden; auch bei einer unmittelbaren Anschauung wird erst die Kenntnis derselben mit ihren Gründen für etwas gehalten, das wahren Wert habe, obgleich eigentlich nur das nackte Resultat das sein soll, um das es zu tun sei.

94.

Si l'on considère les vérités historiques, pour les mentionner rapidement, et en considérant ce qu'il y a en effet en elles de purement historique, on peut facilement admettre qu'elles concernent l'Étant unique, sous l'angle de sa contingence et de son arbitraire, de ses déterminations qui ne relèvent pas de la nécessité. Mais de telles vérités nues, comme celles que l'on a citées plus haut à titre d'exemple, ne sont pas indépendantes de la conscience de soi. Pour connaître l'une d'entre elles il faut faire de nombreuses comparaisons, examiner des livres, ou, de quelque façon que ce soit, faire des recherches. Même pour un aperçu immédiat seule la connaissance de ces choses-là dans leur contexte sera considérée comme valable, et ayant valeur de vérité, bien que, en principe, ce soit la réponse seule qui importe.

95.

Was die mathematischen Wahrheiten betrifft, so würde noch weniger der für einen Geometer gehalten werden, der die Theoreme Euklids auswendig wüßte, ohne ihre Beweise, ohne sie, wie man im Gegensatze sich ausdrücken könne, inwendig zu wissen. Ebenso würde die Kenntnis, die einer durch Messung vieler rechtwinklichten Dreiecke sich erwürbe, daß ihre Seiten das bekannte Verhältnis zueinander haben, für unbefriedigend gehalten werden. Die Wesentlichkeit des Beweises hat jedoch auch beim mathematischen Erkennen noch nicht die Bedeutung und Natur, Moment des Resultates selbst zu sein, sondern in diesem ist er vielmehr vorbei und verschwunden. Als Resultat ist zwar das Theoreme in als wahr eingesehenes. Aber dieser hinzugekommene Umstand betrifft nicht seinen Inhalt, sondern nur das Verhältnis zum Subjekt; die Bewegung des mathematischen Beweises gehört nicht dem an, was Gegenstand ist, sondern ist ein der Sache äußerliches Tun. So zerlegt sich die Natur des rechtwinkligen Dreiecks nicht selbst so, wie es in der Konstruktion dargestellt wird, die für den Beweis des Satzes, der sein Verhältnis ausdrückt, nötig ist; das ganze Hervorbringen des Resultats ist ein Gang und Mittel des Erkennens.

95.

En ce qui concerne les vérités mathématiques, on considérerait encore moins comme un géomètre celui qui saurait par coeur et superficiellement les théorèmes d'Euclide, sans en connaître les démonstrations, sans les connaître, pourrait-on dire par contraste, en profondeur. De même, on ne considérera pas comme satisfaisante la connaissance des rapports qu'entretiennent leur côtés, en mesurant simplement une grande quantité de triangles. Le caractère fondamental de la démonstration n'a pourtant pas encore, dans la connaissance mathématique, la signification et la nature d'une instance du résultat lui-même ; la preuve y est plutôt regardée au contraire comme quelque chose de passé et de disparu. En tant que résultat, le théorème est certes quelque chose qui est considéré comme vrai ; mais cela ne concerne pas son contenu - seulement le rapport au sujet. Le mouvement de la démonstration mathématique ne concerne pas le statut de l'objet, c'est une opération extérieure à la chose dont il s'agit. Ainsi la nature du triangle rectangle ne se découvre-t-elle pas elle-même de la même façon qu'elle peut être montrée quand on en fait la construction pour démontrer la proposition révélant ses relations ; la production du résultat est au total une démarche et un moyen pour la connaissance.

96.

-Auch im philosophischen Erkennen ist das Werden des Daseins als Daseins verschieden von dem Werden des Wesens oder der innern Natur der Sache. Aber das philosophische Erkennen enthält erstens beides, da hingegen das mathematische nur das Werden des Daseins, d.h. des Seins der Natur der Sache im Erkennen als solchem darstellt. Fürs andre vereinigt jenes auch diese beiden besondern Bewegungen. Das innre Entstehen oder das Werden der Substanz ist ungetrennt Übergehen in das Äußere oder in das Dasein, Sein für anderes; und umgekehrt ist das Werden des Daseins das Sich-zurücknehmen ins Wesen. Die Bewegung ist so der gedoppelte Prozeß und Werden des Ganzen, daß zugleich ein jedes das andre setzt und jedes darum auch beide als zwei Ansichten an ihm hat; sie zusammen machen dadurch das Ganze, daß sie sich selbst auflösen und zu seinen Momenten machen.

96.

De même, dans la connaissance philosophique le devenir de l'Étant en tant qu'Étant est différent du devenir de l'entité ou nature intime de la Chose. Mais la connaissance philosophique englobe d'abord les deux, alors que par contre, la connaissance mathématique ne s'occupe que du devenir de l'Étant, c'est-à-dire de l'être de la nature de la chose dans la connaissance en tant que telle. Par ailleurs, la connaissance philosophique réunit ces deux mouvements particuliers. La genèse interne ou devenir de la substance est un mouvement sans rupture vers l'extérieur ou vers l'Étant, un être-pour-un-autre ; et inversement, le devenir de l'Étant est le retour sur soi de l'entité fondamentale. Le mouvement est donc le procès et le devenir redoublé du Tout, par lequel chacun pose en même temps l'autre, et pour cela même a en lui l'un et l'autre à la fois, comme deux points de vue différents. C'est de cette façon qu'ils constituent le Tout, en se dissolvant eux-mêmes, et faisant d'eux-mêmes des instances de ce Tout.

97.

mathematischen Erkennen ist die Einsicht ein für die Sache äußerliches Tun; es folgt daraus, daß die wahre Sache dadurch verändert wird. Das Mittel, Konstruktion und Beweis, enthält daher wohl wahre Sätze; aber ebensosehr muß gesagt werden, daß der Inhalt falsch ist. Das Dreieck wird in dem obigen Beispiele zerrissen und seine Teile zu andern Figuren, die die Konstruktion an ihm entstehen läßt, geschlagen. Erst am Ende wird das Dreieck wiederhergestellt, um das es eigentlich zu tun ist, das im Fortgange aus den Augen verloren wurde, und nur in Stücken, die andern Ganzen angehörten, vorkam.

97.

Dans la connaissance mathématique, la compréhension est une démarche extérieure à la Chose ; il en résulte que la Chose vraie en est modifiée. Le moyen, construction et démonstration, comporte donc bien des propositions vraies ; mais d'un autre côté, il faut bien dire que le contenu est faux. Le triangle dont il a été question plus haut, est mis en pièces et ses morceaux réarrangés de force en d'autres figures que la construction fait surgir en lui. C'est à la fin seulement que le triangle auquel nous avons affaire et qu'on avait perdu de vue dans le processus, dispersé en morceaux qui appartenaient à d'autres totalités, se trouve restitué.

98.

sehen wir also auch die Negativität des Inhalts eintreten, welche eine Falschheit desselben ebensogut genannt werden müßte als in der Bewegung des Begriffs das Verschwinden der festgemeinten Gedanken.

98.

Ici nous voyons donc entrer en scène la négativité du contenu : elle qui pourrait tout aussi bien être appelée une fausseté du contenu, tout comme dans le mouvement du concept la disparition des pensées que l'on croyait assurées.

99.

Die eigentliche Mangelhaftigkeit dieses Erkennens aber betrifft sowohl das Erkennen selbst als seinen Stoff überhaupt. - Was das Erkennen betrifft, so wird vors erste die Notwendigkeit der Konstruktion nicht eingesehen. Sie geht nicht aus dem Begriffe des Theorems hervor, sondern wird geboten, und man hat dieser Vorschrift, gerade diese Linien, deren unendliche andere gezogen werden könnten, zu ziehen, blindlings zu gehorchen, ohne etwas weiter zu wissen, als den guten Glauben zu haben, daß dies zu Führung des Beweises zweckmäßig sein werde. Hintennach zeigt sich denn auch diese Zweckmäßigkeit, die deswegen nur eine äußerliche ist, weil sie sich erst hintennach, beim Beweise, zeigt. - Ebenso geht dieser einen Weg, der irgendwo anfängt, man weiß noch nicht in welcher Beziehung auf das Resultat, das herauskommen soll. Sein Fortgang nimmt diese Bestimmungen und Beziehungen auf und läßt andre liegen, ohne daß man unmittelbar einsehe, nach welcher Notwendigkeit; ein äußerer Zweck regiert diese Bewegung.

99.

Mais ce qui laisse vraiment à désirer dans cette connaissance concerne aussi bien le fait de connaître lui-même que son matériau. S'agissant de l'acte de connaître, on ne voit pas bien d'abord la nécessité de la construction. Elle ne découle pas du concept du théorème, mais elle est imposée ; il faut se conformer aveuglément à cette consigne qui consiste à tracer des lignes avec précision comme on pourrait le faire pour une infinité d'autres, sans rien savoir de plus, mais avec une bonne confiance dans le fait que cela convient à la voie qui conduit vers la démonstration. C'est seulement après coup que cette adéquation se révèle, car elle n'est qu'extérieure, et n'apparaît donc que plus tard, dans le cours de la démonstration. Et de même, cette dernière suit une voie qui commence n'importe où, et personne ne sait dans quel rapport avec le résultat qui doit en sortir. Sa progression utiliseces déterminations et ces rapports et délaisse les autres, sans que l'on puisse distinguer immédiatement en fonction de quelle nécessité : c'est un objectif extérieur qui régit ce mouvement.

100.

Die Evidenz dieses mangelhaften Erkennens, auf welche die Mathematik stolz ist, und womit sie sich auch gegen die Philosophie brüstet, beruht allein auf der Armut ihres Zwecksund der Mangelhaftigkeit ihres Stoffs, und ist darum von einer Art, die die Philosophie verschmähen muß. - Ihr Zweckoder Begriff ist die Größe. Dies ist gerade das unwesentliche, begrifflose Verhältnis. Die Bewegung des Wissens geht darum auf der Oberfläche vor, berührt nicht die Sache selbst, nicht das Wesen oder den Begriff, und ist deswegen kein Begreifen.

100.

L'évidence de cette connaissance insuffisante, dont la mathématique est si fière, et dont elle se vante face à la philosophie, repose seulement sur la pauvreté de son objectif et la déficience de son matériau, et elle est de ce fait, d'une espèce que la philosophie doit mépriser. Son objectif ou concept est la grandeur. C'est justement là le rapport inessentiel, dénué de concept. Le mouvement du savoir se fait donc en surface, il n'atteint pas la chose en elle-même, ni l'entité ou le concept, et il ne peut donc pas y avoir de conceptualisation.

101.

Der Stoff, über den die Mathematik den erfreulichen Schatz von Wahrheiten gewährt, ist der Raumund das Eins. Der Raum ist das Dasein, worin der Begriff seine Unterschiede einschreibt, als in ein leeres, totes Element, worin sie ebenso unbewegt und leblos sind. Das Wirklicheist nicht ein Räumliches, wie es in der Mathematik betrachtet wird; mit solcher Unwirklichkeit, als die Dinge der Mathematik sind, gibt sich weder das konkrete sinnliche Anschauen noch die Philosophie ab. In solchem unwirklichen Elemente gibt es denn auch nur unwirkliches Wahres, d.h. fixierte, tote Sätze; bei jedem derselben kann aufgehört werden; der folgende fängt für sich von neuem an, ohne daß der erste sich selbst zum andern fortbewegte und ohne daß auf diese Weise ein notwendiger Zusammenhang durch die Natur der Sache selbst entstünde.

101.

Le matériau sur lequel la mathématique fonde son réjouissant trésor de vérités, est l'espace et l'Un. L'espace est l'Étant, où le concept inscrit ses différences, comme dans un élément vide, mort, à l'intérieur duquel elles sont tout autant sans mouvement et sans vie. La réalité effective n'est pas quelque chose de spatial, comme elle est considérée dans la mathématique ; la philosophie n'a rien à voir avec l'irréalité des objets dont traite la mathématique, pas plus que l'intuition sensible concrète. Avec des éléments aussi peu consistants, on n'obtient qu'une vérité inconsistante, c'est-à-dire des propositions fixes, mortes. On peut s'arrêter sur chacune d'elles : la suivante se prend pour nouvelle, sans que la première ait pris la place de l'autre, et sans que de cette façon un rapport nécessaire se soit établi de par la nature de la chose elle-même.

102.

läuft um jenes Prinzips und Elements willen - und hierin besteht das Formelle der mathematischen Evidenz - das Wissen an der Linie der Gleichheit fort. Denn das Tote, weil es sich nicht selbst bewegt, kommt nicht zu Unterschieden des Wesens, nicht zur wesentlichen Entgegensetzung oder Ungleichheit, daher nicht zum Übergange des Entgegengesetzten in das Entgegengesetzte, nicht zur qualitativen, immanenten, nicht zur Selbstbewegung. Denn es ist die Größe, der unwesentliche Unterschied, den die Mathematik allein betrachtet. Daß es der Begriff ist, der den Raum in seine Dimensionen entzweit und die Verbindungen derselben und in denselben bestimmt, davon abstrahiert sie; sie betrachtet z.B. nicht das Verhältnis der Linie zur Fläche; und wo sie den Durchmesser des Kreises mit der Peripherie vergleicht, stößt sie auf die Inkommensurabilität derselben, d.h. ein Verhältnis des Begriffs, ein Unendliches, das ihrer Bestimmung entflieht.

102.

C'est aussi au nom d'un tel principe et d'un tel élément - et c'est en cela que réside l'aspect formel de l'évidence mathématique - que le savoir se développe en suivant la ligne de la similarité. Car ce qui est mort parce qu'il ne s'est pas mis lui-même en mouvement, ne parvient ni au stade de la différenciation de l'existence, ni à l'opposition ou à la différenciation existentielle, et donc n'atteint pas le passage du contraire dans son contraire, non plus qu'au qualitatif ou à l'immanence : il ne parvient pas à l'auto-mouvement. Car c'est seulement la grandeur, la différenciation inessentielle, que prend en compte la mathématique. Si c'est le concept qui donne ses dimensions à l'espace, et relie et précise l'ensemble, cela elle en fait abstraction. Elle ne considère pas, par exemple le rapport de la ligne à la surface, et là où elle compare le diamètre du cercle à sa circonférence, elle bute sur leur incommensurabilité, c'est-à-dire sur une proportion appliquée à un infini, celui du concept, et qui échappe à sa détermination.

103.

Die immanente, sogenannte reine Mathematik stellt auch nicht die Zeit als Zeit dem Raume gegenüber, als den zweiten Stoff ihrer Betrachtung. Die angewandte handelt wohl von ihr, wie von der Bewegung, auch sonst andern wirklichen Dingen, sie nimmt aber die synthetischen, d.h. Sätze ihrer Verhältnisse, die durch ihren Begriff bestimmt sind, aus der Erfahrung auf, und wendet nur auf diese Voraussetzungen ihre Formeln an. Daß die sogenannten Beweise solcher Sätze, als der vom Gleichgewichte des Hebels, dem Verhältnisse des Raums und der Zeit in der Bewegung des Fallens u.s.f. , welche sie häufig gibt, für Beweise gegeben und angenommen werden, ist selbst nur ein Beweis, wie groß das Bedürfnis des Beweisens für das Erkennen ist, weil es, wo es nicht mehr hat, auch den leeren Schein desselben achtet und eine Zufriedenheit dadurch gewinnt. Eine Kritik jener Beweise würde ebenso merkwürdig als belehrend sein, um die Mathematik teils von diesem falschen Putze zu reinigen, teils ihre Grenze zu zeigen, und daraus die Notwendigkeit eines andern Wissens.

103.

Ce que l'on appelle mathématique pure, immanente, n'oppose pas le temps au temps de l'espace, en tant que deuxième composant de son examen. La mathématique appliquée en traite bien, comme elle le fait du mouvement, de même que pour d'autres choses réelles ; mais pour ce qui est synthétique, comme par exemple les propositions exprimant leurs propres rapports qui sont déterminées par leur concept, elle les tire de l'expérience, et ne fait qu'appliquer son formalisme à ces présupposés. Que les preuves — comme on dit — de ces propositions, comme celles qui concernent l'équilibre du levier, du rapport entre l'espace et le temps dans la chute des corps, etc. fréquemment fournies, soient effectivement données et considérées comme des preuves, n'est en soi simplement que la preuve de l'importance de la nécessité de la preuve pour la connaissance, car c'est là où on n'en attend plus, que même vide elle est pourtant prise en considération, et donne satisfaction. Une critique de ce genre de preuve serait pourtant aussi remarquable qu'instructive : elle permettrait d'une part de débarrasser la mathématique de cette fausse apparence, et d'autre part de préciser ses limites en même temps que la nécessité d'un autre savoir.

104.

Was die Zeitbetrifft, von der man meinen sollte, daß sie, zum Gegenstücke gegen den Raum, den Stoff des andern Teils der reinen Mathematik ausmachen würde, so ist sie der daseiende Begriff selbst. Das Prinzip der Größe, des begrifflosen Unterschiedes, und das Prinzip der Gleichheit, der abstrakten unlebendigen Einheit, vermag es nicht, sich mit jener reinen Unruhe des Lebens und absoluten Unterscheidung zu befassen. Diese Negativität wird daher nur als paralysiert, nämlich als das Eins, zum zweiten Stoffe dieses Erkennens, das, ein äußerliches Tun, das Sichselbstbewegende zum Stoffe herabsetzt, um nun an ihm einen gleichgültigen, äußerlichen unlebendigen Inhalt zu haben.

104.

En ce qui concerne le temps, dont on doit penser qu'en tant qu'il constitue le pendant opposé à l'espace, il devrait être le matériau de l'autre partie de la mathématique pure, il est l'Étant du concept lui-même. Le principe de la grandeur, qui est celui de la différenciation sans conceptualisation, et le principe de l'identité, celui de l'unité abstraite et inerte, ne sont pas à même de prendre en charge cette pure inquiétude vitale et cette différenciation absolue. Cette négativité ne peut donc devenir qu'en tant que paralysée, disons en tant que l'Un, le deuxième matériau de cette connaissance qui, en tant qu'action extérieure, rabaisse ce mouvement auto-entretenu vers l'état de matériau, pour en obtenir pour elle-même un contenu extérieur inerte et indifférencié.